Construction d'un hexagone régulier

Cette activité a pour objectif d'établir une construction à la règle et au compas d'un hexagone régulier.

Partie A : protocole de construction

Tracer, sur une feuille non quadrillée, un hexagone régulier de côté \(6\) cm en suivant les \(6\) étapes suivantes. S'aider du fichier de géométrie dynamique si besoin. 

Étape 1 : Placer un point \(\text{O}\), tracer le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(\text{O}\) et rayon \(6\) cm. Placer un point \(\text A\) sur le cercle.
Étape 2 : Tracer un arc de cercle de centre \(\text A\) et de rayon \(6\) cm qui coupe le cercle \(\mathcal{C}\) en deux points : \(\text{B}\) et \(\text{F}\).
Étape 3 : Tracer un arc de cercle de centre \(\text B\) et de rayon \(6\) cm qui coupe le cercle \(\mathcal{C}\) en deux points : \(\text{A}\) (qui est déjà placé) et \(\text{C}\).
Étape 4 : Tracer un arc de cercle de centre \(\text C\) et de rayon \(6\) cm qui coupe le cercle \(\mathcal{C}\) en deux points : \(\text{B}\) (qui est déjà placé) et \(\text{D}\).
Étape 5 : Tracer un arc de cercle de centre \(\text D\) et de rayon \(6\) cm qui coupe le cercle \(\mathcal{C}\) en deux points : \(\text{C}\) (qui est déjà placé) et \(\text{E}\).
Étape 6 : Relier les points \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\), \(\text{D}\), \(\text{E}\) et \(\text{F}\) pour former un hexagone qui est bien régulier. On peut compléter la rosace de construction en traçant un arc de cercle de centre \(\text E\) et de rayon \(6\) cm qui coupe le cercle \(\mathcal{C}\) en deux points : \(\text{D}\) et \(\text{F}\) (les deux déjà placés).

Partie B : pourquoi cela marche ?

On va justifier le fait que l'hexagone ainsi construit est bien régulier.
1. De quelle nature est le triangle \(\text{ABO}\) ? Justifier.
2. Justifier que le triangle \(\text{CBO}\) est égal au triangle \(\text{ABO}\).
3. Justifier que le triangle \(\text{EFO}\) est équilatéral.
4. Conclure que \(\text{ABCDEF}\) est un hexagone régulier.

Partie C : où se cachent d'autres triangles équilatéraux ?

1. Démontrer que \(\text {(EB)}\) et la médiatrice de \(\text{[AC]}\).
2. Démontrer que le triangle \(\text{ACE}\) est équilatéral.
3. Donner une construction à la règle et au compas d'un triangle équilatéral.
4. Nommer tous les triangles équilatéraux de sommets trois sommets de l'hexagone régulier.

Partie D : une variante

Cette image illustre une construction de l'hexagone régulier.
En détailler les étapes et démontrer que l'on obtient bien un hexagone régulier.